已知圆 $M$ 的圆心在直线 $2x-y-6=0$ 上，且过点 $A(1,2)$，$B(4,-1)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求圆 $M$ 的方程；标注答案$(x-4)^2+(y-2)^2=9$解析设圆 $M$ 的方程为\[(x-a)^2+(y-2a+6)^2=r^2,\]则\[(a-1)^2+(2a-8)^2=(a-4)^2+(2a-5)^2=r^2,\]解得 $a=4$，$r=3$，于是圆 $M$ 的方程为\[(x-4)^2+(y-2)^2=9.\]
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设 $P$ 为圆 $M$ 上任一点，过点 $P$ 向圆 $O:x^2+y^2=1$ 引切线，切点为 $Q$，试探究：平面内是否存在一定点 $ R $，使得 $\dfrac{PQ}{PR} $ 为定值？若存在，求出 $ R$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在定点 $R\left(\dfrac 25,\dfrac 15\right)$，使得 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $\dfrac{10}9$；存在定点 $R\left(2,1\right)$，使得 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $2$解析如图．
根据题意，有\[\dfrac{PQ^2}{PR^2}=\dfrac{PO^2-1}{PR^2}\]为定值．下面给出引理．引理 设 $O(0,0)$，$A(d,0)$，$\lambda$ 是不为 $1$ 的常数，则满足\[PO^2-\lambda\cdot PA^2=r^2\]的点 $P$ 的轨迹是以 $\left(\dfrac{\lambda d}{\lambda -1},0\right)$ 为圆心，$\sqrt{\dfrac{(1-\lambda)r^2+\lambda d^2}{(\lambda -1)^2}} $ 为半径的圆．证明 设 $ P(x,y)$，则有\[x^2+y^2-\lambda \cdot [(x-d)^2+y^2]=r^2,\]即\[(1-\lambda)x^2+(1-\lambda)y^2+2\lambda dx-\lambda d^2-r^2=0,\]也即\[\left(x-\dfrac{\lambda d}{\lambda-1}\right)^2+y^2=\dfrac{(1-\lambda)r^2+\lambda d^2}{(\lambda-1)^2},\]因此原命题得证．
根据图形的对称性易知若符合题意的定点 $ R $ 存在，必然在直线 $OM$ 上．设 $OR=d$，则根据引理，有\[\begin{cases} \dfrac{\lambda d}{\lambda -1}=\sqrt{20},\\ \sqrt{\dfrac{(1-\lambda)+\lambda d^2}{(\lambda -1)^2}}=3,\end{cases}\]解得\[\left(\lambda,d\right)=\left(\dfrac{10}9,\dfrac{1}{\sqrt 5}\right),\left(2,\sqrt 5\right),\]因此对应的定点 $R$ 为 $\left(\dfrac 25,\dfrac 15\right)$，此时定值为 $\dfrac{10}9$；或 $\left(2,1\right)$，此时定值为 $2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
