已知 $a,b>0$ 且 $a+2b=1$，求 $a^2+b^2+\dfrac{9}{125ab}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{17}{20}$
【解析】
先用拉格朗日乘数法确定最值位置，有\[\begin{aligned}2a-\dfrac{9}{125a^2b}+\lambda=0,\\
2b-\dfrac{9}{125ab^2}+2\lambda=0,\\
a+2b=1,\end{aligned}\]观察分母容易探索出 $(a,b,\lambda)=\left(\dfrac 25,\dfrac {3}{10},\dfrac 7{10}\right)$ 时取得最小值．接下来进行证明．
改写题目．已知 $a,b>0$ 且 $a+b=5$，求 $\dfrac{1}{100}\cdot \left(4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}\right)$ 的最小值．
一方面，有\[\begin{split}4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}&=\underbrace{\dfrac {a^2}{4}+\dfrac{a^2}4+\cdots+\dfrac{a^2}4}_{16}+\underbrace{\dfrac{b^2}9+\dfrac{b^2}9+\cdots+\dfrac{b^2}9}_9+\underbrace{\dfrac{6}{ab}+\dfrac{6}{ab}+\cdots+\dfrac{6}{ab}}_{60}\\
&\geqslant 85\left(\dfrac{6^{60}}{4^{16}\cdot 9^9}\cdot \dfrac{1}{a^{28}b^{42}}\right)^{\frac 1{85}},\end{split}\]另一方面，有\[5=a+b=\dfrac a2+\dfrac a2+\dfrac b3+\dfrac b3+\dfrac b3\geqslant 5\left(\dfrac{a^2b^3}{2^23^3}\right)^{\frac 15},\]于是\[a^2b^3\leqslant 2^23^3.\]这样就有\[4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}\geqslant 85\left(\dfrac{6^{60}}{4^{16}\cdot 9^9}\cdot \dfrac{1}{2^{28}3^{42}}\right)^{\frac{1}{85}}=85,\]因此所求的最小值为 $\dfrac{85}{100}$，即 $\dfrac{17}{20}$．
2b-\dfrac{9}{125ab^2}+2\lambda=0,\\
a+2b=1,\end{aligned}\]观察分母容易探索出 $(a,b,\lambda)=\left(\dfrac 25,\dfrac {3}{10},\dfrac 7{10}\right)$ 时取得最小值．接下来进行证明．
改写题目．已知 $a,b>0$ 且 $a+b=5$，求 $\dfrac{1}{100}\cdot \left(4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}\right)$ 的最小值．
一方面，有\[\begin{split}4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}&=\underbrace{\dfrac {a^2}{4}+\dfrac{a^2}4+\cdots+\dfrac{a^2}4}_{16}+\underbrace{\dfrac{b^2}9+\dfrac{b^2}9+\cdots+\dfrac{b^2}9}_9+\underbrace{\dfrac{6}{ab}+\dfrac{6}{ab}+\cdots+\dfrac{6}{ab}}_{60}\\
&\geqslant 85\left(\dfrac{6^{60}}{4^{16}\cdot 9^9}\cdot \dfrac{1}{a^{28}b^{42}}\right)^{\frac 1{85}},\end{split}\]另一方面，有\[5=a+b=\dfrac a2+\dfrac a2+\dfrac b3+\dfrac b3+\dfrac b3\geqslant 5\left(\dfrac{a^2b^3}{2^23^3}\right)^{\frac 15},\]于是\[a^2b^3\leqslant 2^23^3.\]这样就有\[4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}\geqslant 85\left(\dfrac{6^{60}}{4^{16}\cdot 9^9}\cdot \dfrac{1}{2^{28}3^{42}}\right)^{\frac{1}{85}}=85,\]因此所求的最小值为 $\dfrac{85}{100}$，即 $\dfrac{17}{20}$．
答案
解析
备注
