平面直角坐标系中 $xOy$ 中，$P$ 是不在 $x$ 轴上的一个动点，过 $P$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，切点设为 $A,B$，且直线 $PO\perp AB$ 于 $Q$，$R$ 为直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
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求证：$R$ 是定点；标注答案定点 $R(2,0)$解析设 $P(m,n)$，则 $AB:ny=2(x+m)$，根据题意，直线 $PO$ 与直线 $AB$ 垂直，于是\[\dfrac nm\cdot \dfrac 2n=-1,\]因此 $m=-2$．进而 $R(2,0)$ 为定点．
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求 $\dfrac{PQ}{QR}$ 的最小值．标注答案$2\sqrt 2$解析设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，根据对称性，不妨设 $\theta$ 为锐角．过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，设垂足为 $H$，则 $\triangle OPH$ 与 $\triangle ORQ$ 相似，于是\[\dfrac{PQ}{QR}=\dfrac{PO+OQ}{QR}=\dfrac{\dfrac{2}{\sin\theta}+2\sin\theta}{2\cos\theta}=\dfrac{3-\cos2\theta}{\sin2\theta},\]令右侧代数式为 $t$，则\[t\sin2\theta+\cos2\theta=3,\]于是\[\sqrt{1+t^2}\geqslant 3,\]解得 $t\geqslant 2\sqrt 2$，等号当 $\theta=\dfrac 12\arctan 2\sqrt 2$ 时取得．因此所求的最小值为 $2\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
