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如图，$\triangle ABC$ 是椭圆内接等腰直角三角形，且 $\angle A=90^{\circ}$，$C$ 是椭圆的右焦点，椭圆的左焦点在边 $AB$ 上，则椭圆的离心率为 \((\qquad)\) ．
A: $2-\sqrt 2$
B: $\sqrt 5-\sqrt 3$
C: $\sqrt 6-\sqrt 3$
D: 以上答案都不对
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    解析几何
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    椭圆的焦点三角形面积公式
【答案】
C
【解析】
设 $AB=AC=1$，$BC=\sqrt 2$，则 $4a=2+\sqrt 2$，所以 $a=\dfrac{2+\sqrt 2}{4}$．\[S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}=b^{2}\cdot \left(\tan 45^{\circ}+\tan 22.5^{\circ}\right)=b^{2}\left(1+\dfrac{\sin 45^{\circ}}{1+\cos 45^{\circ}}\right)=b^{2}\cdot \sqrt 2,\]所以\[b^{2}=\dfrac{\sqrt 2}{4},\]因此\[c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{4},\]所以\[e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt 6}{2+\sqrt 2}=\sqrt 6-\sqrt 3.\]
题目 答案 解析 备注
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