题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^{ax}-1+\ln(x+1)$． 问题1 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,+\infty)$ 内单调递增，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $[-1,+\infty)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a{\rm e}^{ax}+\dfrac{1}{x+1},\]于是问题即\[\forall x>-1,a{\rm e}^{ax}+\dfrac{1}{x+1}\geqslant 0.\]取 $x=0$，可得 $a\geqslant -1$．<br/>当 $a\geqslant 0$ 时，显然符合题意；<br/>当 $-1\leqslant a<0$ 时，设 $\varphi(x)=a(x+1){\rm e}^{ax}+1$，则其导函数\[\varphi'(x)=a^2{\rm e}^{ax}\left(x+1+\dfrac 1a\right),\]于是 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值为\[\varphi\left(-1-\dfrac 1a\right)=-{\rm e}^{-a-1}+1\geqslant 0,\]符合题意．<br/>综上所述，$a$ 的取值范围是 $[-1,+\infty)$． 备注1 问题2 若 $0<a\leqslant 1$，且 $x>0$，求证：$f(x)>2ax$． 答案2 略 解析2 问题即当 $0<a\leqslant 1$ 且 $x>0$ 时，有\[{\rm e}^x-1+\ln\left(\dfrac xa+1\right)>2x,\]而上式\[LHS>{\rm e}^x-1+\ln(x+1).\]接下来我们证明\[{\rm e}^x-x-1>x-\ln(x+1),\]也即\[{\rm e}^x-x-1>{\rm e}^{\ln(x+1)}-\ln(x+1)-1,\]而函数 $y={\rm e}^x-x-1$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且当 $x>0$ 时，有 $x>\ln (x+1)>0$，因此上述不等式得证． 备注2 事实上，我们有更强的\[\left({\rm e}^x-1\right)\cdot\ln(x+1)>x^2.\]每日一题[1013]用导数证明不等式．