已知圆 $M$ 的圆心在直线 $2x-y-6=0$ 上，且过点 $A(1,2)$，$B(4,-1)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求圆 $M$ 的方程；标注答案$(x-4)^2+(y-2)^2=9$解析由于圆 $M$ 的圆心在直线$$2x-y-6=0$$上，因此可设 $M(a,2a-6)$，又 $M$ 在 $AB$ 的中垂线$$y=x-2$$上，于是有$$2a-6=a-2,$$解得 $a=4$，因此圆心 $M(4,2)$，进而可得圆 $M$ 的半径为 $3$，故圆 $M$ 的方程为$$M:(x-4)^2+(x-2)^2=9.$$
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设 $P$ 为圆 $M$ 上任一点，过点 $P$ 向圆 $O:x^2+y^2=1$ 引切线，切点为 $Q$，试探究：平面内是否存在一定点 $ R $，使得 $\dfrac{PQ}{PR} $ 为定值？若存在，求出 $ R$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在定点 $R\left(\dfrac 25,\dfrac 15\right)$，使得 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $\dfrac{10}9$；存在定点 $R\left(2,1\right)$，使得 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $2$解析设 $P(4+3\cos\theta,2+3\sin\theta)$，$R(m,n)$，则\[\begin{split} PQ^2&=OP^2-OQ^2\\
&=\left(4+3\cos\theta\right)^2+\left(2+3\sin\theta\right)^2-1^2\\
&=12\sin\theta+24\cos\theta+28.\end{split}\]另一方面，有\[\begin{split} PR^2&=(4+3\cos\theta-m)^2+(2+3\sin\theta-n)^2\\
&=(12-6n)\sin\theta+(24-6m)\cos\theta+(m-4)^2+(n-2)^2+9.\end{split}\]设 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $\lambda$，则\[\dfrac{12}{12-6n}=\dfrac{24}{24-6m}=\dfrac{28}{(m-4)^2+(n-2)^2+9}=\lambda^2,\]解得\[(m,n,\lambda)=\left(\dfrac 25,\dfrac 15,\dfrac{10}9\right),\left(2,1,2\right),\]因此存在定点 $R\left(\dfrac 25,\dfrac 15\right)$，使得 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $\dfrac{10}9$；存在定点 $R\left(2,1\right)$，使得 $\dfrac{PQ}{PR}$ 为定值 $2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
