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如图，$\triangle ABC$ 是椭圆内接等腰直角三角形，且 $\angle A=90^{\circ}$，$C$ 是椭圆的右焦点，椭圆的左焦点在边 $AB$ 上，则椭圆的离心率为 \((\qquad)\) ．
A: $2-\sqrt 2$
B: $\sqrt 5-\sqrt 3$
C: $\sqrt 6-\sqrt 3$
D: 以上答案都不对
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
C
【解析】
记椭圆的左焦点为 $F$，$\angle AFC=\theta$，则\[FA=2c\cos\theta,AC=2c\sin\theta,\]进而\[2a=2c\cos\theta+2c\sin\theta,\]因此\[FB=AC-AF=2c\sin\theta-2c\cos\theta,\]且\[BC=2a-FB=4c\cos\theta,\]从而\[2c\sqrt 2\sin\theta=4c\cos\theta,\]即\[\tan\theta=\sqrt 2,\]因此\[\dfrac ca=\dfrac{1}{\sin\theta+\cos\theta}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2+1}=\sqrt 6-\sqrt 3.\]
题目 答案 解析 备注
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