已知 $a,b\in\mathbb R^+,$ 比较 $\dfrac{a+b}2$ 与 $(a^bb^a)^{\frac1{a+b}}$ 的大小．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据琴生不等式，有$$\begin{split} \ln(a^bb^a)^{\frac1{a+b}}&=\dfrac b{a+b}\ln a+\dfrac a{a+b}\ln b\\&\leqslant\ln\left(\dfrac b{a+b}\cdot a+\dfrac a{a+b}\cdot b\right)\\&=\ln\dfrac{2ab}{a+b}\\&\leqslant\ln\dfrac{a+b}{2},\end{split}$$于是$$\dfrac{a+b}2\geqslant (a^bb^a)^{\frac1{a+b}}.$$
答案
解析
备注
