已知 $a,b\in\mathbb R^+,$ 比较 $\dfrac{a+b}2$ 与 $(a^bb^a)^{\frac1{a+b}}$ 的大小．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到\[\begin{split} \dfrac{\left(\dfrac{a+b}2\right)^{a+b}}{a^b\cdot b^a}&\geqslant \dfrac{(a\cdot b)^{\frac{a+b}2}}{a^b\cdot b^a}\\
&=\left(\dfrac ab\right)^{\frac{a-b}2}\\
&\geqslant 1,\end{split}\]于是$$\dfrac{a+b}2\geqslant(a^bb^a)^{\frac1{a+b}}.$$
&=\left(\dfrac ab\right)^{\frac{a-b}2}\\
&\geqslant 1,\end{split}\]于是$$\dfrac{a+b}2\geqslant(a^bb^a)^{\frac1{a+b}}.$$
答案
解析
备注
