设 $\triangle ABC$ 的周长为定值 $L$，求 $\triangle ABC$ 的内切圆面积的最大值，并说明这时 $\triangle ABC$ 是怎样的三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi L^2}{108}$
【解析】
记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，内切圆半径为 $r$，半周长 $p=\dfrac 12L$，则有\[r=\dfrac Sp,\]根据海伦公式，有\[\begin{split} r&=\dfrac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt{p\cdot \left[\dfrac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}3\right]^3}}{p}\\
&=\sqrt{\dfrac 1{27}}\cdot p,\end{split}\]等号当 $a=b=c$ 时取得等号，因此 $\triangle ABC$ 的内切圆面积的最大值为\[\pi\cdot \dfrac{1}{27}\cdot p^2=\dfrac{\pi L^2}{108},\]此时 $\triangle ABC$ 是正三角形．
&\leqslant \dfrac{\sqrt{p\cdot \left[\dfrac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}3\right]^3}}{p}\\
&=\sqrt{\dfrac 1{27}}\cdot p,\end{split}\]等号当 $a=b=c$ 时取得等号，因此 $\triangle ABC$ 的内切圆面积的最大值为\[\pi\cdot \dfrac{1}{27}\cdot p^2=\dfrac{\pi L^2}{108},\]此时 $\triangle ABC$ 是正三角形．
答案
解析
备注
