已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$ 的左、右焦点分别为 ${F_1},{F_2}$，过 ${F_2}$ 作平行于 $ C $ 的渐近线的直线 $l$ 交 $C$ 于点 $ P $．若 $ P{F_1} \perp P{F_2} $，则 $C $ 的离心率 $e$ 为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
【解析】
根据题意，有\[\begin{cases} \dfrac{PF_2}{F_1F_2}=\dfrac ac,\\
PF_1-PF_2=2a,\end{cases}\]于是\[\begin{cases} PF_1=4a,\\ PF_2=2a,\end{cases}\]因此由\[PF_1^2+PF_2^2=F_1F_2^2,\]可得\[(4a)^2+(2a)^2=(2c)^2,\]从而\[\dfrac{c^2}{a^2}=5,\]因此\[e=\dfrac ca=\sqrt 5.\]
PF_1-PF_2=2a,\end{cases}\]于是\[\begin{cases} PF_1=4a,\\ PF_2=2a,\end{cases}\]因此由\[PF_1^2+PF_2^2=F_1F_2^2,\]可得\[(4a)^2+(2a)^2=(2c)^2,\]从而\[\dfrac{c^2}{a^2}=5,\]因此\[e=\dfrac ca=\sqrt 5.\]
题目
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