设 $x,y,z\in\mathbb R^+$，求证：$x^4+y^4+z^4\geqslant(x+y+z)xyz$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
即证$$\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{x^3}{yz}\geqslant\sum_{cyc}x,$$而$$\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{x^3}{yz}&=\dfrac12\sum_{cyc}\left(\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}\right)\\
&\geqslant\dfrac12\sum_{cyc}\left(2\cdot\dfrac{xy}{z}\right)\\
&=\dfrac12\sum_{cyc}\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}y\right)\\
&\geqslant\sum_{cyc}x,\end{split}$$因此原不等式得证．
&\geqslant\dfrac12\sum_{cyc}\left(2\cdot\dfrac{xy}{z}\right)\\
&=\dfrac12\sum_{cyc}\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}y\right)\\
&\geqslant\sum_{cyc}x,\end{split}$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
