已知 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a\neq b$，则 $\left|\dfrac1{a^2+1}-\dfrac1{b^2+1}\right|<|a-b|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式等价于证明$$\dfrac{\left|a^2-b^2\right|}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}<|a-b|,$$即证$$|a+b|<\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right).$$事实上，有\[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)-|a|-|b|=a^2b^2+\left(|a|-\dfrac 12\right)^2+\left(|b|-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 12>0,\]于是\[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\geqslant |a|+|b|\geqslant |a+b|,\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
