已知 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a\neq b$，则 $\left|\dfrac1{a^2+1}-\dfrac1{b^2+1}\right|<|a-b|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记\[f(x)=\dfrac{1}{x^2+1},\]根据拉格朗日中值定理，只需要证明其导函数\[f'(x)=\dfrac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2},\]满足\[|f'(x)|\leqslant 1,\]也即\[\left|\dfrac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\leqslant 1,\]也即\[\left(x^2+1\right)^4-4x^2\geqslant 0,\]也即\[x^8+4x^6+6x^4+1\geqslant 0,\]这显然成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
