已知 $a,b\in\mathbb R^+,a+b=1$，求证：$\sqrt{a^2+\dfrac1{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac1{b^2}}\geqslant\sqrt{17}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$\begin{split} \sqrt{a^2+\dfrac1{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac1{b^2}}
&=\sqrt{\left(a-0\right)^2+\left(\dfrac1a-0\right)^2}+\sqrt{\left(-b-0\right)^2+\left(-\dfrac1b-0\right)^2}\\&\geqslant \sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)^2}\\&=\sqrt{1^2+\left(\dfrac1{ab}\right)^2}\\
&\geqslant\sqrt{17},\end{split}$$当且仅当 $a=b=\dfrac12$ 时上述不等式取得等号．
&=\sqrt{\left(a-0\right)^2+\left(\dfrac1a-0\right)^2}+\sqrt{\left(-b-0\right)^2+\left(-\dfrac1b-0\right)^2}\\&\geqslant \sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)^2}\\&=\sqrt{1^2+\left(\dfrac1{ab}\right)^2}\\
&\geqslant\sqrt{17},\end{split}$$当且仅当 $a=b=\dfrac12$ 时上述不等式取得等号．
答案
解析
备注
