已知正实数 $a,b$ 满足 $\dfrac1a+\dfrac1b=1$，求证：$\left(a+b\right)^n-a^n-b^n\geqslant 2^{2n}-2^{n+1},n\in\mathbb N^\ast$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$\begin{split} LHS&=\left(a+b\right)^n-a^n-b^n\\&=\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_n^ka^{n-k}b^k\\&=\dfrac12\sum_{k=1}^{n-1}\left[{\rm C}_n^ka^{n-k}b^k+{\rm C}_n^{n-k}a^{k}b^{n-k}\right]\\&\geqslant\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{{\rm C}_n^ka^{n-k}b^k\cdot {\rm C}_n^{n-k}a^{k}b^{n-k}}\\&=\left(\sqrt{ab}\right)^n\cdot\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_n^k\\&\geqslant\left(\dfrac2{\dfrac1a+\dfrac1b}\right)^n\cdot\left(2^n-2\right)\\&=2^{2n}-2^{n+1}\\&=RHS.\end{split}$$当且仅当 $a=b=2$ 时上述不等式取得等号．
答案
解析
备注
