设 $n\in\mathbb N^\ast$ 且 $n\geqslant 2$，求证：$\displaystyle\dfrac47<\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1{k}<\dfrac{\sqrt2}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1{k}=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2k(2k-1)},\]于是\[\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1{k}\geqslant \sum_{k=1}^2\dfrac{1}{2k(2k-1)}=\dfrac{7}{12}>\dfrac 47,\]因此左边不等式得证．另一方面，有\[\begin{split} \sum_{k=n+1}^{2n}\left(\dfrac1{k}\cdot 1\right)&<\sqrt{\left(\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1{k^2}\right)\cdot\left(\sum_{k=n+1}^{2n}1^2\right)}\\&<\sqrt{n\cdot\sum_{k=n+1}^{2n}\left(\dfrac1{k-1}-\dfrac1k\right)}\\&=\dfrac{\sqrt2}2,\end{split}\]因此右边不等式得证．
综上所述，原命题得证．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
