已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+y^2=1$ 经过点 $P\left(1,\dfrac{\sqrt2}2\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程及其离心率；标注答案$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，$e=\dfrac{\sqrt2}2$解析将点 $P$ 的坐标代入椭圆 $C$ 的方程可得 $a=2$，因此所求椭圆方程为$$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,$$于是离心率为 $e=\dfrac{\sqrt2}2$．
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过椭圆右焦点 $F$ 的直线（不经过点 $P$）与椭圆交于 $A,B$ 两点，当 $\angle APB$ 的平分线为 $PF$ 时，求直线 $AB$ 的斜率 $k_0$．标注答案$\dfrac{\sqrt2}2$解析由题设点 $A$ 与 $B$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$，设直线 $PA$ 斜率为 $k$，则直线 $PA$ 的方程为$$l_1:y=k(x-1)+\dfrac{\sqrt2}2,$$将该直线方程与椭圆 $C$ 方程联立可得$$(1+2k^2)x^2+2k(\sqrt2-2k)x+2\left(\dfrac{\sqrt2}2-k\right)^2-2=0,$$根据韦达定理有$$x_1=\dfrac{2k^2-2\sqrt2k-1}{2k^2+1},$$由于直线 $PA$ 与 $PB$ 斜率互为相反数，因此直线 $PB$ 的斜率为 $-k$，进而可得$$x_2=\dfrac{2k^2+2\sqrt2k-1}{2k^2+1},$$于是直线 $AB$ 的斜率$$\begin{split} k_0&=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\&=\dfrac{k(x_1+x_2)-2k}{x_1-x_2}\\&=\dfrac{\sqrt2}2 .\end{split}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
