已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a_1=2$，$a_{n+1}=2-\dfrac{1}{a_n}$，求 $a_n$；标注答案$a_n=1+\dfrac 1n,n\in\mathbb N^{\ast}$解析根据题意，有\[a_{n+1}-1=\dfrac{a_n-1}{a_n},\]于是\[\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1+\dfrac{1}{a_n-1},\]因此\[\dfrac{1}{a_n-1}=n,\]进而\[a_n=1+\dfrac 1n,n\in\mathbb N^{\ast}.\]
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若 $a_{n+1}<2-\dfrac{1}{a_n}$，求证：当 $n\geqslant 3$ 时，$1\leqslant a_n<\dfrac 32$．标注答案略解析先证明 $a_n\geqslant 1$．考虑到\[a_{n+1}-1<\dfrac{a_n-1}{a_n},\]若存在 $k\in \mathbb N^{\ast}$，使得 $a_k<1$，则\[1-a_{n+1}>\dfrac{1-a_n}{a_n},\]因此从第 $k$ 项起的每一项均小于 $1$，于是当 $n\geqslant k$ 时，有\[\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}>\dfrac{1}{a_n}>1,\]因此从第 $k$ 项起 $a_n$ 单调递减，进而当 $n\geqslant k$ 时，有\[\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}>\dfrac{1}{a_n}\geqslant \dfrac{1}{a_k},\]因此 $\{1-a_n\}$ 无上界，矛盾．
再证明 $1\leqslant a_n<\dfrac 32$．由于\[a_{n+1}<2-\dfrac{1}{a_n}<2,\]于是有\[1\leqslant a_{n+1}<2,\]进而\[a_{n+2}<2-\dfrac{1}{a_{n+1}}<2-\dfrac 12=\dfrac 32,\]因此当 $n\geqslant 3$ 时，有\[1\leqslant a_n\leqslant\dfrac 32,\]原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
