点 $A(0,2)$ 是圆 $x^2+y^2=16$ 内的定点，$B,C$ 是该圆上的两个动点，若 $BA\perp CA$，求 $BC$ 中点 $M$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^2+(y-1)^2=7$
【解析】
设 $M$ 坐标 $(x,y)$，记 $A$ 关于 $M$ 对称的点为 $D(x_D,y_D)$，如图．
由中点坐标公式有$$\begin{cases} x_D=2x,\\ y_D=2y-2. \end{cases}$$又由于$$OA^2+OD^2=OB^2+OC^2,$$即有$$4+4x^2+4(y-1)^2=16+16,$$因此所求轨迹方程为$$x^2+(y-1)^2=7.$$
由中点坐标公式有$$\begin{cases} x_D=2x,\\ y_D=2y-2. \end{cases}$$又由于$$OA^2+OD^2=OB^2+OC^2,$$即有$$4+4x^2+4(y-1)^2=16+16,$$因此所求轨迹方程为$$x^2+(y-1)^2=7.$$
答案
解析
备注
