在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A ,B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$，已知 $b = \dfrac{a}{2}\sin C$．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
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若 $\tan A = 3$，求 $\tan B$ 的值；标注答案$\dfrac 9{17}$解析由正弦定理得\[2\sin B=\sin A\cdot\sin C,\]于是\[2\sin B=\sin A\cdot\sin(A+B),\]展开整理得$$2\sin B=\sin^2 A\cos B+\sin A\cos A\sin B,$$于是\[\tan B=\dfrac{\sin^2A}{2-\sin A\cos A}=\dfrac{\tan^2A}{2\tan^2A-\tan A+2}=\dfrac 9{17},\]
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求 $\tan B$ 的最大值．标注答案$\dfrac 8{15}$解析记 $\tan A= x$，$\tan B=y$，则\[y=\dfrac{x^2}{2x^2-x+2},\]即\[(2y-1)x^2-y\cdot x+2y=0,\]其判别式\[\Delta=y^2-4\cdot (2y-1)\cdot 2y=y(-15y+8)\geqslant 0,\]因此\[0\leqslant y\leqslant \dfrac{8}{15},\]又当 $\tan A=4$ 时，$\tan B=\dfrac{8}{15}$，因此所求最大值为 $\dfrac{8}{15}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
