已知 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $a+c=2b$，求证：$\tan\dfrac A2\cdot \tan\dfrac C2\geqslant \tan^2\dfrac B2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据半角公式，有\[\tan\dfrac A2=\sqrt{\dfrac {1-\cos A}{1+\cos A}}=\sqrt{\dfrac {1-\dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}}{1+\dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}}}=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\]其中 $p$ 为 $\triangle ABC$ 的半周长，于是欲证明不等式即\[\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\cdot \sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}\geqslant \dfrac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)},\]也即\[(p-b)^2\geqslant (p-a)(p-c),\]根据均值不等式上述不等式成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
