设 $x_1,x_2,\dots,x_n,n\in\mathbb N^\ast$ 为正实数，且满足 $x_1x_2\dots x_n=1$，证明：$\displaystyle\prod_{i=1}^n\left(1+x_i\right)\geqslant \left(1+\sqrt2\right)^n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $y_i={\ln} x_i$，则 $x_i=\mathrm{e}^{y_i}$ 且 $\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i=0$．设$$f(y)={\ln} (\sqrt2+\mathrm{e}^y),y\in\mathbb R,$$对该函数求二阶导得$$f''(y)=\dfrac{\sqrt2\mathrm{e}^y}{\left(\sqrt2+\mathrm{e}^y\right)^2}>0.$$因此该函数下凸，由琴生不等式有$$\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^nf(y_i)\geqslant f\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^ny_i\right),$$即有$$\displaystyle\prod_{i=1}^n\left(1+x_i\right)\geqslant \left(1+\sqrt2\right)^n.$$原命题得证．
答案
解析
备注
