设 $x_1,x_2,\dots,x_n,n\in\mathbb N^\ast$ 为正实数，且满足 $x_1x_2\dots x_n=1$，证明：$\displaystyle\prod_{i=1}^n\left(1+x_i\right)\geqslant \left(1+\sqrt2\right)^n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意考虑将左边表达式展开后用均值不等式证明：$$\begin{split}
LHS=&\prod_{i=1}^nx_i+\left(\sqrt2\right)^1\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i}{x_k}+\left(\sqrt2\right)^2\cdot\sum_{k=2}^n\sum_{j=1}^{k-1}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i}{x_kx_j}
\\ &+\left(\sqrt2\right)^3\cdot\sum_{k=3}^n\sum_{j=3}^{k-1}\sum_{m=1}^{j-1}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i}{x_kx_jx_m}+\dots+\left(\sqrt2\right)^n\\
\geqslant& C_n^0\left(\sqrt2\right)^0+C_n^1\left(\sqrt2\right)^1+C_n^2\left(\sqrt2\right)^2+C_n^3\left(\sqrt2\right)^3+\dots+C_n^n\left(\sqrt2\right)^n\\
=&\left(1+\sqrt2\right)^n=RHS.\end{split}$$证毕．
LHS=&\prod_{i=1}^nx_i+\left(\sqrt2\right)^1\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i}{x_k}+\left(\sqrt2\right)^2\cdot\sum_{k=2}^n\sum_{j=1}^{k-1}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i}{x_kx_j}
\\ &+\left(\sqrt2\right)^3\cdot\sum_{k=3}^n\sum_{j=3}^{k-1}\sum_{m=1}^{j-1}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i}{x_kx_jx_m}+\dots+\left(\sqrt2\right)^n\\
\geqslant& C_n^0\left(\sqrt2\right)^0+C_n^1\left(\sqrt2\right)^1+C_n^2\left(\sqrt2\right)^2+C_n^3\left(\sqrt2\right)^3+\dots+C_n^n\left(\sqrt2\right)^n\\
=&\left(1+\sqrt2\right)^n=RHS.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
