题目 已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^x+\dfrac{a+1}{x}-2(a+1)$，$a>0$． 问题1 当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； 答案1 $(\mathrm{e}-2)x-y=0$ 解析1 由题 $f'(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{2}{x^2}$，故$$f(1)=\mathrm{e}-2,f'(1)=\mathrm{e}-2,$$因此 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $(\mathrm{e}-2)x-y=0$． 备注1 问题2 若对任意 $x\in(0,+\infty)$，恒有 $f(x)\geqslant0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}-1},+\infty\right)$ 解析2 函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=a\mathrm{e}^x-\dfrac{a+1}{x^2},$$由 $a>0$，则 $f'(x)$ 单调递增，设 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的零点为 $m$，则$$f'(m)=a\mathrm{e}^m-\dfrac{a+1}{m^2}=0,$$且 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递减，$(m,+\infty)$ 上单调递增，则\[\begin{split}f(m)&=a\mathrm{e}^m+\dfrac{a+1}{m}-2(a+1)\\&=\dfrac{a+1}{m^2}+\dfrac{a+1}{m}-2(a+1)\\&=\dfrac{a+1}{m^2}\cdot(-2m-1)\cdot(m-1),\end{split}\]注意到 $a>0,m>0$，因此只需$$m-1\leqslant0,$$即$$f'(1)=(\mathrm{e}-1)a-1\geqslant0,$$因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}-1},+\infty\right)$． 备注2