已知 $f(x)=x^3-3x$，$n$ 为不小于 $3$ 的正整数，且 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [-2,2]$，$x_1\leqslant x_2\leqslant
\cdots \leqslant x_n$，记\[d(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{k=1}^{n-1}|f(x_k)-f(x_{k+1})|,\]则 \((\qquad)\)
\cdots \leqslant x_n$，记\[d(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{k=1}^{n-1}|f(x_k)-f(x_{k+1})|,\]则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
函数 $f(x)$ 的单调性和极值如下\[\begin{array} {c|ccccccc}\hline
x&-2&(-2,-1)&-1&(-1,1)&1&(1,2)&2\\ \hline
f(x)&-2&\nearrow&2&\searrow&-2&\nearrow&2\\ \hline\end{array}\]于是\[\forall a,b\in [-2,2],|f(a)-f(b)|\leqslant 4.\]选项 A 当 $n=3$ 时，有\[d(x_1,x_2,x_3)\leqslant 8,\]当 $(x_1,x_2,x_3)=(-2,-1,1)$ 时取得等号，因此 $d(x_1,x_2,x_3)$ 的最大值为 $8$．
选项 B 当 $n=4$ 时，有\[d(x_1,x_2,x_3,x_4)\leqslant 12,\]当 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-2,-1,1,2)$ 时取得等号，因此 $d(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 的最大值为 $12$．
选项 CD $n\geqslant 5$．记\[M=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\},\]若\[-2,-1,1,2\in M,\]则必然有\[d(x_1,x_2,\cdots,x_n)=12,\]若 $-2,-1,1,2$ 中存在某个数不在 $M$ 中，则将 $-2,-1,1,2$ 补入有序数组\[X=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\]中，得到的新数组 $X'$ 对应的\[d(X')=12,\]且根据绝对值不等式有 $d(X)\leqslant d(X')$，因此当 $n\geqslant 5$ 时，所求的最大值为 $12$，与 $n$ 无关．
x&-2&(-2,-1)&-1&(-1,1)&1&(1,2)&2\\ \hline
f(x)&-2&\nearrow&2&\searrow&-2&\nearrow&2\\ \hline\end{array}\]于是\[\forall a,b\in [-2,2],|f(a)-f(b)|\leqslant 4.\]
题目
答案
解析
备注
