题目 已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^x+\dfrac{a+1}{x}-2(a+1)$，$a>0$． 问题1 当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； 答案1 $(\mathrm{e}-2)x-y=0$ 解析1 由题 $f'(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{2}{x^2}$，故$$f(1)=\mathrm{e}-2,f'(1)=\mathrm{e}-2,$$因此 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $(\mathrm{e}-2)x-y=0$． 备注1 问题2 若对任意 $x\in(0,+\infty)$，恒有 $f(x)\geqslant0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}-1},+\infty\right)$ 解析2 题中不等式 $f(x)\geqslant0$ 可变形为$$(a+1)\cdot\left(\mathrm{e}^x+\dfrac1x-2\right)\geqslant\mathrm{e}^x,$$我们熟知当 $x>0$ 时，$\mathrm{e}^x> x+1$，故 $\mathrm{e}^x+\dfrac1x-2>0$，结合 $a>0$，有$$1+\mathrm{e}^{-x}\cdot\left(\dfrac1x-2\right)\geqslant\dfrac{1}{a+1},$$令左侧式子为 $g(x)$，求导得$$g'(x)=\dfrac{(2x+1)(x-1)}{x^2\cdot\mathrm{e}^x},$$因此，函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增，且$$g(1)=\dfrac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}},$$因此，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}-1},+\infty\right)$． 备注2