设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_0=1$，$b_0=0$，且 $\begin{cases} a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, \\b_{n+1}=8a_n+7b_n-4,\end{cases}$ $n\in \mathbb N$，证明：$a_n$ 是完全平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题两式联立消去 $b_n$ 可得$$a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}-6,n\in \mathbb N^\ast,$$若设 $c_n=a_n-\dfrac12$，则有$$c_{n+1}=14c_n-c_{n-1},n\in\mathbb N^\ast,$$由特征根法求得$$c_n=\dfrac14\left[(7+4\sqrt3)^n+(7-4\sqrt3)^n\right],n\in \mathbb N,$$于是$$\begin{split}
a_n&=c_n+\dfrac12\\
&=\dfrac14\left[(7+4\sqrt3)^n+(7-4\sqrt3)^n\right]+\dfrac12\\
&=\dfrac14\left[(2+\sqrt3)^{2n}+(2-\sqrt3)^{2n}+2(2+\sqrt3)^n(2-\sqrt3)^n\right]\\
&=\left[\dfrac{(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n}{2}\right]^2.
\end{split}$$而 $\dfrac{(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n}{2}$ 为正整数，因此 $a_n$ 是完全平方数得证．
a_n&=c_n+\dfrac12\\
&=\dfrac14\left[(7+4\sqrt3)^n+(7-4\sqrt3)^n\right]+\dfrac12\\
&=\dfrac14\left[(2+\sqrt3)^{2n}+(2-\sqrt3)^{2n}+2(2+\sqrt3)^n(2-\sqrt3)^n\right]\\
&=\left[\dfrac{(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n}{2}\right]^2.
\end{split}$$而 $\dfrac{(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n}{2}$ 为正整数，因此 $a_n$ 是完全平方数得证．
答案
解析
备注
