题目 对于函数 $f(x)$，若 $f(x_0)=x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的“不动点”；若 $f(f(x_0))=x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的“稳定点”．函数 $f(x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 $A$ 和 $B$，即 $A=\{x\mid f(x)=x\}$，$B=\{x\mid f(f(x))=x\}$． 问题1 设函数 $f(x)=3x+4$，求集合 $A$ 和 $B$； 答案1 $A=\{-2\}$，$B=\{-2\}$ 解析1 因为$$f[f(x)]=3(3x+4)+4=9x+16,$$所以令$$f[f(x)]=9x+16=x,$$得 $B=\{-2\}$．<br/>令$$f(x)=3x+4=x,$$得 $A=\{-2\}$． 备注1 问题2 求证：$A\subseteq B$； 答案2 略 解析2 若 $\alpha\in A$，则 $\alpha$ 是方程 $f(x)=x$ 的根，即$$f(\alpha)=\alpha,$$于是$$f[f(\alpha)]=f(\alpha)=\alpha,$$所以 $\alpha$ 是方程 $f[f(x)]=x$ 的根，于是 $\alpha\in B$，因此 $A\subseteq B$． 备注2 问题3 设函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$），且 $A=\varnothing$，求证：$B=\varnothing$． 答案3 略 解析3 若 $A=\varnothing$，则 $f(x)=x$ 没有实数根，于是$$f(x)>x$$恒成立，或$$f(x)<x$$恒成立．<br/>若$$f(f(x))>f(x)>x$$恒成立，则方程$$f(f(x))=x$$无解；<br/>若 $ f(f(x))<f(x)<x $ 恒成立，则方程$$f(f(x))=x$$无解．<br/>因此方程 $f(f(x))=x$ 无解，即 $B=\varnothing$． 备注3