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已知函数 $f(x)=(a+1)\ln x+ax^2+1,a\leqslant -2$．对于任意的 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$，$\left|f(x_1)-f(x_2)\right|$ $\geqslant 4|x_1-x_2|$；
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
情形一 当 $x_1=x_2$ 时，上述不等式显然成立．
情形二 当 $x_1\neq x_2$ 时，即证$$\left|\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|\geqslant 4,$$又即证$$(-a-1)\cdot\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}+(-a)\cdot(x_1+x_2)\geqslant 4,$$由 $A-L-G$ 不等式易知$$\begin{split} LHS
&>(-a-1)\cdot\dfrac{2}{x_1+x_2}+(-a)(x_1+x_2)\\
&\geqslant 2\sqrt{2a(a+1)}\\
&\geqslant 4.
\end{split}$$于是原命题得证．
答案 解析 备注
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