已知函数 $f(x)=x^2-1$，$g(x)=a|x-1|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若不等式 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；标注答案$(-\infty,-2]$解析根据题意，有\[\forall x\in\mathbb R,f(x)\geqslant g(x),\]即\[\forall x\in (-\infty,1)\cup (1,+\infty),a\leqslant \dfrac{x^2-1}{|x-1|},\]也即\[\forall x\in (-\infty,1)\cup (1,+\infty),a\leqslant (x+1)\cdot \dfrac{x-1}{|x-1|},\]于是实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]$．
-
若 $a\geqslant -2$，设函数 $h(x)=|f(x)|+g(x)$ 在 $[0,2]$ 上的最大值为 $t(a)$，求 $t(a)$ 的最小值．标注答案$1$解析一方面，根据题意，有\[\begin{split} h(0)&=1+a,\\ h(2)&=3+a,\end{split}\]于是\[t(a)\geqslant \max\{1+a,3+a\}=3+a\geqslant 1.\]另一方面，当 $a=-2$ 时，函数\[h(x)=\left|x^2-1\right|-2|x-1|,\]也即\[h(x)=\begin{cases} -x^2+2x-1,&0\leqslant x<1,\\ x^2-2x+3,&1\leqslant x\leqslant 2,\end{cases}\]该函数在 $[0,2]$ 上单调递增，其最大值为 $h(2)=1$．
综上所述，$t(a)$ 的最小值为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
