题目 已知函数 $f(x)=(x-2)\ln x-ax+1$． 问题1 若 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $(-\infty,-1]$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-a-\dfrac 2x+\ln x.\]根据题意，有\[\forall x\in (1,+\infty),1-a-\dfrac 2x+\ln x\geqslant 0,\]考虑到不等式左侧的函数单调递增，于是问题等价于\[\left(1-a-\dfrac 2x+\ln x\right)\big|_{x=1}\geqslant 0,\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]$． 备注1 问题2 若存在唯一整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left(\dfrac 12,\dfrac{\ln 3+1}3\right]$ 解析2 不等式 $f(x)<0$ 即\[a>\dfrac{(x-2)\ln x+1}{x},\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则\[\varphi'(x)=\dfrac{x+\ln x-2}{x^2},\]考虑到分子部分单调递增，于是 $\varphi'(x)$ 在 $(1,2)$ 内有唯一零点 $m$，进而 $\varphi(x)$ 在 $x=m$ 处取得极小值，亦为最小值．而\[\begin{array}{c|ccc}\hline<br/>x&1&2&3\\ \hline<br/>f(x)&1&\dfrac 12&\dfrac{\ln 3+1}3\\ \hline \end{array}\]因此整数 $x_0=2$，且实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,\dfrac{\ln 3+1}3\right]$． 备注2