设 $A_nB_nC_n$ 的三边长分别为 $a_n,b_n,c_n$，$n=1,2,3,\dots$，若 $b_1>c_1$，$b_1+c_1=2a_1$，$a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=\dfrac12\left(a_n+c_n\right)$，$c_{n+1}=\dfrac12\left(a_n+b_n\right)$，求证：$A_n<\dfrac{\pi}3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} a_n&=a_1,n\in\mathbb N^{\ast},\\ b_n+c_n&=2a_1,n\in\mathbb N^{\ast},\end{split}\]且 $b_n\ne c_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），于是\[\begin{split}\cos A_n&=\dfrac{b_n^2+c_n^2-a_n^2}{2b_nc_n}\\
&=\dfrac{b_n^2-c_n^2-\left(\dfrac{b_n+c_n}2\right)^2}{2b_nc_n}\\
&=\dfrac 38\cdot \left(\dfrac{b_n}{c_n}+\dfrac{c_n}{b_n}\right)-\dfrac 12\\
&>\dfrac 12,\end{split}\]因此原命题得证．
&=\dfrac{b_n^2-c_n^2-\left(\dfrac{b_n+c_n}2\right)^2}{2b_nc_n}\\
&=\dfrac 38\cdot \left(\dfrac{b_n}{c_n}+\dfrac{c_n}{b_n}\right)-\dfrac 12\\
&>\dfrac 12,\end{split}\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
