在 $\Delta ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a<b<c$，$C=2A$．是否存在 $\Delta ABC$ 恰好使得 $a,b,c$ 是三个连续的自然数？若存在，请求出这个三角形的周长；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$15$
【解析】
由题将 $\Delta ABC$ 中三内角均用 $A$ 表示$$(A,B,C)=(A,\pi-3A,2A),$$于是$$\begin{cases}\cos A=\dfrac c{2a},\\\cos B=-\cos 3A,\\ \cos C=\cos 2A,\end{cases}$$设 $t=\dfrac ca$，则 $t>1$，进而三内角的余弦均可用 $t$ 表出为$$\begin{cases}\cos A=\dfrac12t,\\\cos B=-\dfrac12t^3+\dfrac32t,\\ \cos C=\dfrac12t^2-1,\end{cases}$$由于$$a<b<c,$$所以$$A<B<C,$$所以$$\cos A>\cos B>\cos C>,$$于是可解得$$\sqrt2<t<\dfrac{\sqrt5+1}2,$$假设存在 $\Delta ABC$ 恰好使得 $a,b,c$ 是三个连续的自然数，则$$t=1 +\dfrac 2a,$$结合已解出的 $t$ 的范围可求出 $\sqrt5+1<a<2\sqrt2+2,$ 在此范围内，仅有一个正整数 $4$ 满足，此时$$(a,b,c)=(4,5,6),$$经检验符合题设，因此存在 $\Delta ABC$ 恰好使得 $a,b,c$ 是三个连续的自然数，且该三角形周长为 $15$．
答案
解析
备注
