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下列命题正确的是 \((\qquad)\)
A: 若 $m>1$，则 $\sqrt{m+1}+\sqrt{m-1}>2\sqrt m$
B: 若 $a,b>0$，则 $\dfrac b{a^2}+\dfrac a{b^2}\geqslant \dfrac 1a+\dfrac 1b$
C: 若 $a,b,c>0$，则 $a^ab^bc^c\geqslant a^bb^cc^a$
D: 若 $a,b,c,d,m,n>0$，则 $\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\geqslant \sqrt{ma+nc}\cdot \sqrt{\dfrac bm+\dfrac dn}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    比大小
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    配方
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的元
    >
    不妨设最
【答案】
BC
【解析】
选项 A 由\[\begin{split} \sqrt{m+1}+\sqrt{m-1}-2\sqrt m&=\dfrac{1}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}-\dfrac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{m-1}}<0,\end{split}\]于是\[\sqrt{m+1}+\sqrt{m-1}<2\sqrt m.\]选项 B由\[\begin{split} \left(\dfrac b{a^2}+\dfrac a{b^2}\right)-\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)=\dfrac{(a+b)(a-b)^2}{a^2b^2}\geqslant 0,\end{split}\]因此\[\dfrac b{a^2}+\dfrac a{b^2}\geqslant \dfrac 1a+\dfrac 1b.\]选项 C不妨设 $a$ 是 $a,b,c$ 中的最大数，则当 $b\geqslant c$ 时，由\[\left(\dfrac ab\right)^{a-b}\geqslant 1\]可得\[a^ab^b\geqslant a^bb^a,\]于是只需要证明\[b^ac^c\geqslant b^cc^a,\]也即\[\left(\dfrac bc\right)^a\geqslant \left(\dfrac bc\right)^c.\]当 $c\geqslant b$ 时．类似可证明不等式成立．
选项 D 设左、右代数式分别为 $m,n$，则\[n^2-m^2=\left(\sqrt{\dfrac{mad}{n}}-\sqrt{\dfrac{nbc}m}\right)^2,\]于是不等式不成立．
题目 答案 解析 备注
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