已知 $p,q,r$ 是三个互不相等的正数，以这三个数作为二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的系数与常数，求证：在所有这些函数中至少有一个函数的图象在 $x$ 轴上方．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意，共有六个二次函数可作：$$\begin{split} px^2+qx+r\\ rx^2+qx+p\\px^2+rx+q\\ qx^2+rx+p\\ qx^2+px+r\\ rx^2+px+q\end{split}$$且它们的二次项系数都是正数．考虑用反证法．假设这六个函数中任何一个函数的图象都不全在 $x$ 轴上方，则它们的图象都与 $x$ 轴有公共点，于是它们的判别式都应该大于（或等于）零．注意到不同的判别式仅有三个，于是便可得$$\begin{cases} q^2\geqslant 4pr,\\r^2\geqslant 4pq,\\ p^2\geqslant 4qr.\end{cases}$$三式相乘得$$p^2q^2r^2\geqslant 64p^2q^2r^2,$$两边同除以正数 $p^2q^2r^2$，得 $1\geqslant 64$，这显然矛盾，故假设不成立．所以这六个函数中至少有一个函数的图象在 $x$ 轴上方．
答案
解析
备注
