已知 $a,b,c\in\mathbb R$，且 $|a|<1,|b|<1,|c|<1$，求证：$ab+bc+ca>-1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将 $ab+bc+ca+1$ 写成 $(b+c)a+bc+1$，构造函数$$f(x)=(b+c)x+bc+1,|x|<1,$$则$$f(a)=(b+c)a+bc+1.$$情形一 当 $b+c=0$，即 $b=-c$ 时$$f(a)=1-c^2.$$因为 $|c|<1$，所以$$f(a)>0.$$情形二 当 $b+c\neq 0$ 时$$f(x)=(b+c)x+bc+1$$为 $x$ 的一次函数．因为$$(|b|<1)\wedge(|c|<1),$$所以$$\begin{cases} &f(1)=(1+b)(1+c)>0,\\&f(-1)=(1-b)(1-c)>0.\end{cases}$$所以$$\forall a\in (-1,1),f(a)>0,$$即$$ab+bc+ca>-1.$$
答案
解析
备注
