已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $f(2)=3$，求 $f(1)$；又若 $f(0)=a$，求 $f(a)$；标注答案$f(1)=1;f(a)=a$解析因为$$\forall x\in \mathbb R,f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x.$$所以$$f(f(2)-2^2+2)=f(2)-2^2+2,$$结合 $f(2)=3$，整理上式得$$f(1)=1.$$若 $f(0)=a$，则$$f(f(0)-0^2+0)=f(0)-0^2+0,$$即有$$f(a)=a.$$
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设有且仅有一个实数 $x_0$，使得 $f(x_0)=x_0$，求函数 $f(x)$ 的解析表达式．标注答案$f(x)=x^2-x+1$解析因为$$\forall x\in \mathbb R,f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x.$$又因为有且仅有一个实数 $x_0$，使得$$f(x_0)=x_0,$$所以$$\forall x\in\mathbb R,f(x)-x^2+x=x_0.$$在上式中令 $x=x_0$，有$$f(x_0)-x_0^2+x_0=x_0.$$又因为 $f(x_0)=x_0$，所以$$x_0-x_0^2=0,$$故 $x_0=0$ 或 $x_0=1$．
情形一 若 $x_0=0$，则 $f(x)=x^2-x$，但方程$$x^2-x=x,$$有两个不同的实根，与题设条件矛盾．故 $x_0\neq 0$．情形二 若 $x_0=1$，则有 $f(x)=x^2-x+1$，易验证该函数满足题设条件．
综上，所求函数为 $f(x)=x^2-x+1,x\in\mathbb R$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
