略

由题意，设直线 $l:y = kx + n\left(n> 0\right)$，由\[\begin{cases}y = kx + n ,\\
\dfrac{{{x^2}}}{3} + {y^2} = 1 ,\\
\end{cases}\]消 $y$ 得\[\left(1 + 3{k^2}\right){x^2} + 6knx + 3{n^2} - 3 = 0,\]设 $A\left({x_1},{y_1}\right) , B\left({x_2},{y_2}\right)$，$AB$ 的中点 $E\left({x_0},{y_0}\right)$，则由韦达定理得：\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 6kn}}{{1 + 3{k^2}}},y_1+y_2=\dfrac{2n}{3k^2+1};\]即可得出\[\begin{split}{x_0} & = \dfrac{{ - 3kn}}{{1 + 3{k^2}}} , \\ {y_0} &= \dfrac{n}{{1 + 3{k^2}}},\end{split}\]所以中点 $E$ 的坐标为 $\left( {\dfrac{{ - 3kn}}{{1 + 3{k^2}}},\dfrac{n}{{1 + 3{k^2}}}} \right)$，因为 $O$，$E$，$D$ 三点在同一直线上，所以\[{k_{OE}} = {k_{OD}},\]即\[ - \dfrac{1}{{3k}} = - \dfrac{m}{3},\]解得 $m = \dfrac{1}{k}$，所以\[{m^2} + {k^2} = \dfrac{1}{{{k^2}}} + {k^2} \geqslant 2,\]当且仅当 $k = 1$ 时取等号，即 ${m^2} + {k^2}$ 的最小值为 $2$．

略

（i）由题意知，$n > 0$，因为直线 $OD$ 的方程为 $y = - \dfrac{m}{3}x$，所以由\[\begin{cases}
y = - \dfrac{m}{3}x, \\
\dfrac{{{x^2}}}{3} + {y^2} = 1, \\
\end{cases}\]得交点 $G$ 的纵坐标为\[{y_G} = \sqrt {\dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 3}}} ,\]又因为 ${y_E} = \dfrac{n}{{1 + 3{k^2}}}$，${y_D} = m$，且 $|OG{|^2} = |OD| \cdot |OE|$，所以\[\dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 3}} = m \cdot \dfrac{n}{{1 + 3{k^2}}},\]又由（1）知，$m = \dfrac{1}{k}$，所以解得 $k = n$，所以直线 $l$ 的方程为 $l:y = kx + k$，即有\[l:y = k\left(x + 1\right),\]令 $x = - 1$，得 $y = 0$，与实数 $k$ 无关，所以直线 $l$ 过定点 $\left( - 1,0\right)$．
（ii）假设点 $B$，$G$ 关于 $x$ 轴对称，则有 $\triangle ABG$ 的外接圆的圆心在 $x$ 轴上，又在线段 $AB$ 的中垂线上，
由（i）知点 $G\left( {\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {{m^2} + 3} }},\dfrac{m}{{\sqrt {{m^2} + 3} }}} \right)$，所以点 $B\left( {\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {{m^2} + 3} }},\dfrac{{ - m}}{{\sqrt {{m^2} + 3} }}} \right)$，
又因为直线 $l$ 过定点 $\left( - 1,0\right)$，所以直线 $l$ 的斜率为\[\dfrac{{\dfrac{{ - m}}{{\sqrt {{m^2} + 3} }}}}{{\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {{m^2} + 3} }} + 1}} = k,\]又因为 $m = \dfrac{1}{k}$，所以解得\[{m^2} = 1 或 6,\]又因为 $3 - {m^2} > 0$，所以 ${m^2} = 6$ 舍去，即\[{m^2} = 1,\]此时\[k = 1,m = 1,E\left( {\dfrac{{ - 3}}{4},\dfrac{1}{4}} \right),\]$AB$ 的中垂线为\[2x + 2y + 1 = 0,\]圆心坐标为 $\left( { - \dfrac{1}{2},0} \right)$，$G\left( {\dfrac{{ - 3}}{2},\dfrac{1}{2}} \right)$，圆半径为 $\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$，圆的方程为\[{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{5}{4}.\]综上所述，点 $B$，$G$ 关于 $x$ 轴对称，此时 $\triangle ABG$ 的外接圆的方程为\[{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{5}{4}.\]