数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=0$ 且 $x_{n+1}=3x_n+\sqrt{8x_n^2+1}$，$n\in\mathbb N^\ast$，求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x_n=\dfrac{\sqrt2}{8}(3+2\sqrt2)^n-\dfrac{\sqrt2}8(3-2\sqrt2)^n,n\in\mathbb N^\ast$
【解析】
根据题意由$$x_{n+1}=3x_n+\sqrt{8x_n^2+1}$$得$$(x_{n+1}-3x_n)^2=8x_n^2+1,$$即$$x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+x_n^2-1=0,$$用 $n-1$ 代替上式中的下标 $n$ 得$$x_{n-1}^2-6x_{n-1}x_n+x_{n}^2-1=0,$$由以上两式知 $x_{n+1},x_{n-1}$ 是二次方程$$t^2-6x_nt+x_n^2-1=0$$的两根，由韦达定理得$$x_{n+1}+x_{n-1}=6x_n.$$这是一个二阶线性递推数列，由特征根法易求得$$x_n=\dfrac{\sqrt2}{8}(3+2\sqrt2)^n-\dfrac{\sqrt2}8(3-2\sqrt2)^n,n\in\mathbb N^\ast.$$
答案
解析
备注
