在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=1$，$a_{n+1}^2+a_n^2+1=2(a_{n+1}a_n+a_{n+1}+a_n)$ 且 $\{a_n\}$ 为递增数列，求 $a_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=n^2$
【解析】
根据题中所给条件易得$$\left(a_{n+1}+a_n-1\right)^2=4a_{n+1}a_n,$$于是$$a_{n+1}+a_n-1=2\sqrt{a_{n+1}a_n},$$则$$\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right)^2=1,$$进而$$\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}=1,$$所以$$a_n=n^2,n\in\mathbb N^\ast.$$
答案
解析
备注
