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在如图所示的几何体中，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\angle ACB = 90^\circ $，$EA \perp 平面 ABCD$，$EF\parallel AB$，$FG\parallel BC$，$EG\parallel AC$，$AB = 2EF$． 
【难度】
【出处】
2011年高考山东卷（理）
【标注】
  1. 若 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，求证：$GM\parallel 平面 ABFE$；
    标注
    答案
    略
    解析
    由于 $EF\parallel AB$，$AB = 2EF$，所以可延长 $BF$ 交 $AE$ 于点 $P$． 而 $FG\parallel BC$，$EG\parallel AC$，则 $P \in BF \subset 平面 BFGC$，$P \in AE \subset 平面 AEGC$，即 $P \in 平面 BFGC \cap 平面 AEGC = GC$，于是 $BF$，$CG$，$AE$ 三线共点，\[FG \parallel BC , FG = \dfrac{1}{2}BC,\]因为 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，而 $AD \parallel BC$，$AD = BC$，则\[FG \parallel AM , FG = AM,\]四边形 $AMGF$ 为平行四边形，则 $GM\parallel AF$，又 $GM \not\subset 平面 ABFE$，
    所以 $GM\parallel 平面 ABFE$．
  2. 若 $AC = BC = 2AE$，求二面角 $A - BF - C$ 的大小．
    标注
    答案
    略
    解析
    解法一：
    取 $AB$ 的中点 $H$，连接 $CH $． $\because AC = BC$，$\therefore CH \perp AB$，
    又 $\because EA \perp 平面 ABCD$，则 $CH \perp 平面 ABFE$，作 $HT \perp BF$ 于 $ T$，连接 $CT$．
    则 $CT \perp BF$，于是 $\angle CTH$ 为二面角 $A - BF - C$ 的平面角．
    由 $AC = BC = 2AE$，设 $AE = 1$，则\[AC = BC = 2,AB = 2\sqrt 2 ,CH = \sqrt 2,\]$H$ 为 $AB$ 的中点，\[\begin{split}\tan \angle FBA & = \dfrac{AE}{AB - EF} = \dfrac{2AE}{AB} = \dfrac{2}{2\sqrt 2 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2}, \\ \sin \angle FBA & = \dfrac{\sqrt 3 }{3},\end{split}\]所以\[HT = BH\sin \angle ABF = \sqrt 2 \times \dfrac{\sqrt 3 }{3} = \dfrac{\sqrt 6 }{3},\]在 ${\mathrm{Rt}}\triangle CHT$ 中，\[\tan \angle CTH = \dfrac{CH}{HT} = \sqrt 3,\]则 $\angle CTH = {60^ \circ }$，即二面角 $A - BF - C$ 的大小为 ${60^ \circ }$．
    解法二：
    由四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\angle ACB = 90^\circ $，$EA \perp 平面 ABCD$，
    可得以点 $A$ 为坐标原点，$AC$，$AD$，$AE$ 所在直线分别为 $x$，$y$，$z$ 轴建立直角坐标系， 由 $AC = BC = 2AE$，设 $AE = 1$，则 $AC = BC = 2$，\[C\left(2,0,0\right),E\left(0,0,1\right),B\left(2, - 2,0\right),F\left(1, - 1,1\right),\]则\[\begin{split}\overrightarrow {BC} & = \overrightarrow {AD} = \left(0,2,0\right) , \\
    \overrightarrow {BF} & = \left( - 1,1,1\right) , \\ \overrightarrow {AB} & = \left(2, - 2,0\right),\end{split}\]设 ${\overrightarrow {n _1}} = \left({x_1},{y_1},{z_1}\right)$，${\overrightarrow {n _2}} = \left({x_2},{y_2},{z_2}\right)$ 分别为平面 $ABF$ 与平面 $CBF$ 的法向量，则\[ \begin{cases}{2{x_1} - 2{y_1} = 0} ,\\
    { - {x_1} + {y_1} + {z_1} = 0},
    \end{cases}\]令 ${x_1} = 1$，则 ${y_1} = 1$，${z_1} = 0$，${\overrightarrow {n _1}} = \left(1,1,0\right)$；\[ \begin{cases}{2{y_2} = 0} ,\\
    { - {x_2} + {y_2} + {z_2} = 0},
    \end{cases} \]令 ${x_2} = 1$，则 ${y_2} = 0$，${z_2} = 1$，${\overrightarrow {n _2}} = \left(1,0,1\right)$．
    于是\[\cos \left\langle {\overrightarrow {n _1}},{\overrightarrow {n _2}} \right\rangle = \dfrac{{{{\overrightarrow {n _1}}} \cdot {{\overrightarrow {n_2}}}}}{{\left| {{{\overrightarrow {n_1}}}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow {n_2}}}} \right|}} = \dfrac{1}{2},\]则\[ \left\langle {\overrightarrow {n _1}},{\overrightarrow {n _2}} \right\rangle = 60^\circ,\]即二面角 $A - BF - C$ 的大小为 $60^\circ $．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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