设 $a,b$ 是非零实数，$x\in \mathbb R$，若 $\dfrac{\sin^4x}{a^2}+\dfrac{\cos^4x}{b^2}=\dfrac1{a^2+b^2}$，求 $\dfrac{\sin^{2008}x}{a^{2006}}+\dfrac{\cos^{2008}x}{b^{2006}}$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac1{\left(a^2+b^2\right)^{1003}}$
【解析】
根据已知条件$$\begin{split} \dfrac1{a^2+b^2}&=\dfrac{\sin^4x}{a^2}+\dfrac{\cos^4x}{b^2}\\&\geqslant\dfrac{\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2}{a^2+b^2}\\
&=\dfrac1{a^2+b^2}.\end{split}$$因此有$$\dfrac{\sin^2x}{a^2}=\dfrac{\cos^2x}{b^2},$$记上述比值为 $k$，则有$$a^2k^2+b^2k^2=\dfrac1{a^2+b^2},$$故$$k=\dfrac1{a^2+b^2},$$则所求表达式$$\begin{split} \dfrac{\sin^{2008}x}{a^{2006}}+\dfrac{\cos^{2008}x}{b^{2006}}&=a^2k^{1004}+b^2k^{1004}\\
&=\dfrac1{\left(a^2+b^2\right)^{1003}}.\end{split}$$
&=\dfrac1{a^2+b^2}.\end{split}$$因此有$$\dfrac{\sin^2x}{a^2}=\dfrac{\cos^2x}{b^2},$$记上述比值为 $k$，则有$$a^2k^2+b^2k^2=\dfrac1{a^2+b^2},$$故$$k=\dfrac1{a^2+b^2},$$则所求表达式$$\begin{split} \dfrac{\sin^{2008}x}{a^{2006}}+\dfrac{\cos^{2008}x}{b^{2006}}&=a^2k^{1004}+b^2k^{1004}\\
&=\dfrac1{\left(a^2+b^2\right)^{1003}}.\end{split}$$
答案
解析
备注
