是否存在 $0<x<\dfrac{\pi}2$，使得 $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$ 为等差数列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$不存在$
【解析】
不存在；否则有$$\cos x-\sin x=\cot x-\tan x,$$即$$\cos x-\sin x=\dfrac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\sin x\cos x},$$则$$\left(\cos x-\sin x=0\right)\vee \left(\dfrac{\cos x+\sin x}{\sin x\cos x}=1\right),$$情形一 $$\cos x-\sin x=0,$$有 $x=\dfrac{\pi}4$．而此时$$\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt2}2,1,1$$不成等差数列，该种情形不符题意，舍去．
情形二 $$\dfrac{\cos x+\sin x}{\sin x\cos x}=1,$$有$$\left(\sin x\cos x\right)^2=1+2\sin x\cos x,$$解得$$\sin x\cos x=1\pm \sqrt2,$$而这与$$\sin x\cos x=\dfrac12\sin 2x\in \left(0,\dfrac12\right],$$矛盾．
综上所述，不存在 $0<x<\dfrac{\pi}2$，使得 $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$ 为等差数列．
综上所述，不存在 $0<x<\dfrac{\pi}2$，使得 $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$ 为等差数列．
答案
解析
备注
