如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\angle ADC = {45^\circ}$，$AD = AC = 1$，$O$ 为 $AC$ 中点，$PO \perp 平面 ABCD$，$PO = 2$，$M$ 为 $PD$ 中点．
【难度】
【出处】
2011年高考天津卷（文）
【标注】
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证明：$PB \parallel 平面 ACM$；标注答案略解析如图，连接 $ BD $，$ MO $．
在平行四边形 $ ABCD $ 中，因为 $ O $ 为 $ AC $ 的中点，所以 $ O $ 为 $ BD $ 的中点．
又 $ M $ 为 $ PD $ 的中点，所以 $ PB\parallel MO $．
因为 $PB \not\subset 平面 ACM$，$MO \subset平面 ACM $，所以 $ PB\parallel 平面 ACM $．
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证明：$AD \perp 平面 PAC$；标注答案略解析因为 $\angle ADC = 45^\circ $，且 $ AD=AC=1 $，
所以 $\angle DAC = 90^\circ $，即 $AD \perp AC$，
又 $PO \perp平面 ABCD $，$AD \subset 平面 ABCD$，
所以 $PO \perp AD$，而 $AC \cap PO = O$，所以 $AD \perp 平面 PAC $． -
求直线 $AM$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正切值．标注答案略解析如图，取 $ DO $ 中点 $ N $，连接 $ MN $，$ AN $．
因为 $ M $ 为 $ PD $ 的中点，所以 $ MN\parallel PO $，且 $MN = \dfrac{1}{2}PO = 1$．
由 $PO \perp 平面 ABCD$，得 $MN \perp 平面 ABCD $，
所以 $\angle MAN$ 是直线 $ AM $ 与平面 $ ABCD $ 所成的角．
在 $ {\mathrm{Rt}} \triangle DAO $ 中，$AD=1$，$AO=\dfrac12 $，所以 $DO=\dfrac{\sqrt5}2$，从而 $AN = \dfrac{1}{2}DO = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}$．
在 $ {\mathrm{Rt}} \triangle ANM$ 中，$\tan \angle MAN = \dfrac{{MN}}{{AN}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{\sqrt 5 }}{4}}} = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}$，
即直线 $ AM $ 与平面 $ ABCD $ 所成角的正切值为 $\dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
