已知 $x,y\in\mathbb R$，求 $\cos (x+y)+2\cos x+2\cos y$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-3$
【解析】
根据题意记$$S=\cos (x+y)+2\cos x+2\cos y,$$则$$S=2\cos^2\dfrac{x+y}2-1+4\cos\dfrac{x+y}2\cdot\cos\dfrac{x-y}2.$$因为 $\cos\dfrac{x-y}2\in[-1,1]$，所以$$\left|\cos\dfrac{x-y}2\cdot\cos\dfrac{x+y}2\right|\leqslant\left|\cos\dfrac{x+y}2\right|,$$设 $\cos\dfrac{x+y}2=a$，则 $a\in[-1,1]$，代入 $S$，得$$\begin{split} S&\geqslant 2a^2-4|a|-1\\
&=2(|a|-1)^2-3\\
&\geqslant 3. \end{split}$$当且仅当 $(x,y)=\left((2m+1)\pi,(2n+1)\pi\right),m,n\in\mathbb Z$ 时取等号．
&=2(|a|-1)^2-3\\
&\geqslant 3. \end{split}$$当且仅当 $(x,y)=\left((2m+1)\pi,(2n+1)\pi\right),m,n\in\mathbb Z$ 时取等号．
答案
解析
备注
