是否存在锐角 $\alpha$ 和 $\beta$，使得 $\alpha+2\beta=\dfrac{\pi}3$ 与 $\tan\dfrac{\alpha}2\cdot\tan\beta=2-\sqrt3$ 同时成立，若存在，求出 $\alpha,\beta$ 的值；若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\alpha=\dfrac{\pi}6,\beta=\dfrac{\pi}4$
【解析】
由已知有$$\dfrac\alpha 2+\beta=\dfrac{\pi}3,$$于是$$\tan\left(\dfrac {\alpha}2+\beta\right)=\dfrac{\tan \dfrac{\alpha}{2}+\tan\beta}{1-\tan\dfrac{\alpha}2\tan\beta}=\sqrt3$$
答案
解析
备注
