已知 $\sin x+\sin y+\sin z=\cos x+\cos y+\cos z=0$，求 $S=\tan (x+y+z)+\tan x\tan y\tan z$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
由已知条件，得$$\begin{cases} \sin x+\sin y=-\sin z,\\ \cos x+\cos y=-\cos z,\end{cases}$$两式平方相加可得$$\cos(x-y)=-\dfrac12.$$同理可得$$\begin{cases} \cos(y-z)=-\dfrac12,\\ \cos(z-x)=-\dfrac12,\end{cases}$$这表明角 $x,y,z$ 中任意两角得终边夹角为 $\dfrac{2\pi}3$，不妨设$$\begin{cases} x=z+\dfrac{2\pi}{3}+2m\pi,\\y=z+\dfrac{4\pi}{3}+2n\pi,\end{cases}$$其中 $m,n\in \mathbb Z$，则$$\begin{split} S&=\tan (x+y+z)+\tan x\tan y\tan z\\
&=\tan3z+\tan z\tan\left(z+\dfrac{\pi}{3}\right)\tan\left(z-\dfrac{\pi}3\right).\end{split}$$结合正切函数三倍角公式知 $S=0$．
&=\tan3z+\tan z\tan\left(z+\dfrac{\pi}{3}\right)\tan\left(z-\dfrac{\pi}3\right).\end{split}$$结合正切函数三倍角公式知 $S=0$．
答案
解析
备注
