化简 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}$，其中 $n,k\in\mathbb N^\ast.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sin\dfrac{2n\pi}{2n+1}}{2\sin\dfrac{\pi}{2n+1}}$
【解析】
考虑裂项求和，因为$$2\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}\cdot\sin\dfrac{\pi}{2n+1}=\sin\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}+\dfrac{\pi}{2n+1}\right)-\sin\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}-\dfrac{\pi}{2n+1}\right),$$累加有$$\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(2\cdot\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}\cdot\sin\dfrac{\pi}{2n+1}\right)=\sin\dfrac{2n\pi}{2n+1},$$于是$$\displaystyle\sum_{k=1}^n\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}=\dfrac{\sin\dfrac{2n\pi}{2n+1}}{2\sin\dfrac{\pi}{2n+1}}=\dfrac12.$$
答案
解析
备注
