已知 $f(x)=ax-m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$），$g(x)=\ln\dfrac xa$，若对任意 $x\in\mathbb N^{\ast}$ 均有 $f(x)\cdot g(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases} k,&m=k^2,k\in\mathbb N^{\ast},\\ \left[\max\left\{k,\dfrac m{k+1}\right\}, \min\left\{k+1,\dfrac{m}{k}\right\}\right],&k^2<m<(k+1)^2,k\in\mathbb N^{\ast}.\end{cases}$
【解析】
显然 $a>0$，不等式即\[a\left(x-\dfrac{m}{a}\right)\cdot \left(\ln x-\ln a\right)\geqslant 0.\]先考虑 $x$ 是实数的情形，上述不等式在 $\dfrac {m}a$ 和 $a$ 之间（不包含端点）不成立．因此题意即在这两个数之间不存在正整数．
情形一 $m=k^2$，$k\in\mathbb N^{\ast}$．此时 $a$ 只能取 $k$．
情形二 $k^2<m<(k+1)^2$．此时因为 $a,\dfrac ma$ 的乘积为 $m$，所以 $a,\dfrac ma$ 界于 $k,k+1$ 之间，即\[\begin{cases} k\leqslant a\leqslant k+1,\\k\leqslant \dfrac ma\leqslant k+1,\end{cases} \]从而有\[\max\left\{k,\dfrac m{k+1}\right\}\leqslant a\leqslant \min\left\{k+1,\dfrac{m}{k}\right\}.\]综上所述，实数 $a$ 的取值范围是\[\begin{cases} k,&m=k^2,k\in\mathbb N^{\ast},\\ \left[\max\left\{k,\dfrac m{k+1}\right\}, \min\left\{k+1,\dfrac{m}{k}\right\}\right],&k^2<m<(k+1)^2,k\in\mathbb N^{\ast}.\end{cases}\]
答案
解析
备注
